3.117 \(\int \cot ^2(e+f x) \sqrt [3]{a+a \sin (e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=80 \[ \frac{6 \sqrt{2} \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sec (e+f x) (a \sin (e+f x)+a)^{7/3} F_1\left (\frac{11}{6};-\frac{1}{2},2;\frac{17}{6};\frac{1}{2} (\sin (e+f x)+1),\sin (e+f x)+1\right )}{11 a^2 f} \]

[Out]

(6*Sqrt[2]*AppellF1[11/6, -1/2, 2, 17/6, (1 + Sin[e + f*x])/2, 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e +
f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/3))/(11*a^2*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.101394, antiderivative size = 80, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.13, Rules used = {2719, 137, 136} \[ \frac{6 \sqrt{2} \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sec (e+f x) (a \sin (e+f x)+a)^{7/3} F_1\left (\frac{11}{6};-\frac{1}{2},2;\frac{17}{6};\frac{1}{2} (\sin (e+f x)+1),\sin (e+f x)+1\right )}{11 a^2 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3),x]

[Out]

(6*Sqrt[2]*AppellF1[11/6, -1/2, 2, 17/6, (1 + Sin[e + f*x])/2, 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e +
f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/3))/(11*a^2*f)

Rule 2719

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Dist[(Sqrt[a + b*Si
n[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]])/(b*f*Cos[e + f*x]), Subst[Int[(x^p*(a + x)^(m - (p + 1)/2))/(a - x)^((p
+ 1)/2), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && Inte
gerQ[p/2]

Rule 137

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[(c + d*x)^
FracPart[n]/((b/(b*c - a*d))^IntPart[n]*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^FracPart[n]), Int[(a + b*x)^m*((b*c)/(b*c
- a*d) + (b*d*x)/(b*c - a*d))^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&
!IntegerQ[n] && IntegerQ[p] &&  !GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !SimplerQ[c + d*x, a + b*x]

Rule 136

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((b*e - a*
f)^p*(a + b*x)^(m + 1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f
))])/(b^(p + 1)*(m + 1)*(b/(b*c - a*d))^n), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !Int
egerQ[n] && IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !(GtQ[d/(d*a - c*b), 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x])

Rubi steps

\begin{align*} \int \cot ^2(e+f x) \sqrt [3]{a+a \sin (e+f x)} \, dx &=\frac{\left (\sec (e+f x) \sqrt{a-a \sin (e+f x)} \sqrt{a+a \sin (e+f x)}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a-x} (a+x)^{5/6}}{x^2} \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac{\left (\sqrt{2} \sec (e+f x) (a-a \sin (e+f x)) \sqrt{a+a \sin (e+f x)}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+x)^{5/6} \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x}{2 a}}}{x^2} \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f \sqrt{\frac{a-a \sin (e+f x)}{a}}}\\ &=\frac{6 \sqrt{2} F_1\left (\frac{11}{6};-\frac{1}{2},2;\frac{17}{6};\frac{1}{2} (1+\sin (e+f x)),1+\sin (e+f x)\right ) \sec (e+f x) \sqrt{1-\sin (e+f x)} (a+a \sin (e+f x))^{7/3}}{11 a^2 f}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 23.8982, size = 2692, normalized size = 33.65 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cot[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3),x]

[Out]

((15/2 + (15*I)/2)*AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e +
f*x)/2])]*(a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1/3))/(f*((5 + 5*I)*AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f
*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])] + (AppellF1[5/3, 1/3, 4/3, 8/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]
), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])] + I*AppellF1[5/3, 4/3, 1/3, 8/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1
/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])])*(1 + Cot[(e + f*x)/2]))) + ((-4 - Cot[e + f*x])*(a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1/3
))/f + ((5/2 + (5*I)/2)*AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Tan[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Tan[
(e + f*x)/2])]*(a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1/3))/(f*((5 + 5*I)*AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Tan[(
e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Tan[(e + f*x)/2])] + (AppellF1[5/3, 1/3, 4/3, 8/3, (1/2 + I/2)*(1 + Tan[(e + f*
x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Tan[(e + f*x)/2])] + I*AppellF1[5/3, 4/3, 1/3, 8/3, (1/2 + I/2)*(1 + Tan[(e + f*x)/2]
), (1/2 - I/2)*(1 + Tan[(e + f*x)/2])])*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))) + (Cos[(3*(e + f*x))/2]*Csc[(e + f*x)/2]*Sec[
(e + f*x)/2]*(a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1/3)*((1 + Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[Sec[(e + f*x)/2]^2])^(2/3)*(8 + (1 + I)
*2^(2/3)*(((1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 2/3, 5/3, ((1
+ I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])]*(I + Tan[(e + f*x)/2]) - AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/
3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])]*((2 + 2*I) - (2 - 2*I)*Cot[(e + f*x
)/2])^(1/3)*((-1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*(1 + Tan[(e + f*x)/2])))/(f*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f
*x)/2])*(1 + Tan[(e + f*x)/2])*((-3*Sec[(e + f*x)/2]^2*((1 + Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[Sec[(e + f*x)/2]^2])^(2/3)
*(8 + (1 + I)*2^(2/3)*(((1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 2
/3, 5/3, ((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])]*(I + Tan[(e + f*x)/2]) - AppellF1[2/3,
1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])]*((2 + 2*I) - (2 - 2*I)
*Cot[(e + f*x)/2])^(1/3)*((-1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*(1 + Tan[(e + f*x)/2])))/(4*(1 + Tan[(e + f*x
)/2])^2) + ((8 + (1 + I)*2^(2/3)*(((1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*Hypergeometri
c2F1[1/3, 2/3, 5/3, ((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])]*(I + Tan[(e + f*x)/2]) - Ap
pellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])]*((2 + 2*I)
- (2 - 2*I)*Cot[(e + f*x)/2])^(1/3)*((-1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))*(Sqrt[Sec[
(e + f*x)/2]^2]/2 - (Tan[(e + f*x)/2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/(2*Sqrt[Sec[(e + f*x)/2]^2])))/((1 + Tan[(e + f*
x)/2])*((1 + Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[Sec[(e + f*x)/2]^2])^(1/3)) + (3*((1 + Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[Sec[(e + f*x
)/2]^2])^(2/3)*(-(AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f
*x)/2])]*((2 + 2*I) - (2 - 2*I)*Cot[(e + f*x)/2])^(1/3)*((-1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*Sec[(e + f*x)/
2]^2)/2 + ((1 + I)*(((1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 2/3,
5/3, ((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])]*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2^(1/3) + ((1/3 + I/3
)*2^(2/3)*(((1/2 - I/2)*(I + Cot[(e + f*x)/2])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(1 + Cot[(e + f*x)/2])^2 - ((1/2 - I/2)*Csc
[(e + f*x)/2]^2)/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))*Hypergeometric2F1[1/3, 2/3, 5/3, ((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])
/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])]*(I + Tan[(e + f*x)/2]))/(((1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))^(
2/3) - ((1/6 + I/6)*AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e +
f*x)/2])]*((2 + 2*I) - (2 - 2*I)*Cot[(e + f*x)/2])^(1/3)*Csc[(e + f*x)/2]^2*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/((-1 - I)
*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(2/3) - ((1/3 - I/3)*AppellF1[2/3, 1/3, 1/3, 5/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]),
(1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])]*((-1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*Csc[(e + f*x)/2]^2*(1 + Tan[(e +
f*x)/2]))/((2 + 2*I) - (2 - 2*I)*Cot[(e + f*x)/2])^(2/3) - ((2 + 2*I) - (2 - 2*I)*Cot[(e + f*x)/2])^(1/3)*((-1
- I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*((-1/30 + I/30)*AppellF1[5/3, 1/3, 4/3, 8/3, (1/2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x
)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])]*Csc[(e + f*x)/2]^2 - (1/30 + I/30)*AppellF1[5/3, 4/3, 1/3, 8/3, (1/
2 + I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2]), (1/2 - I/2)*(1 + Cot[(e + f*x)/2])]*Csc[(e + f*x)/2]^2)*(1 + Tan[(e + f*x)/2]
) + ((2/3 + (2*I)/3)*2^(2/3)*(((1 - I)*(I + Cot[(e + f*x)/2]))/(1 + Cot[(e + f*x)/2]))^(1/3)*(I + Tan[(e + f*x
)/2])*(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])*(-((Sec[(e + f*x)/2]^2*((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2]))/(2 + 2*Tan[(e + f*
x)/2])^2) + ((1/2 - I/2)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]))*(-Hypergeometric2F1[1/3, 2/3, 5/3, ((1
+ I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2])] + (1 - ((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])/(2 + 2*
Tan[(e + f*x)/2]))^(-1/3)))/((1 + I) + (1 - I)*Tan[(e + f*x)/2])))/(2*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.095, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \cot \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}\sqrt [3]{a+a\sin \left ( fx+e \right ) }\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^(1/3),x)

[Out]

int(cot(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^(1/3),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{1}{3}} \cot \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^(1/3),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((a*sin(f*x + e) + a)^(1/3)*cot(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^(1/3),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt [3]{a \left (\sin{\left (e + f x \right )} + 1\right )} \cot ^{2}{\left (e + f x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)**2*(a+a*sin(f*x+e))**(1/3),x)

[Out]

Integral((a*(sin(e + f*x) + 1))**(1/3)*cot(e + f*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{1}{3}} \cot \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^(1/3),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((a*sin(f*x + e) + a)^(1/3)*cot(f*x + e)^2, x)